【第2章】対称群 \(S_4\)
【2-6】既約分解の為の変換行列 \(T\) の生成
前節【2-5】で10個の原始冪等元の右正則表現の計算の仕方を説明した。次の計算は、これら右正則表現の行列 \(\{R_1,R_2,...,R_{10}\}\) より それぞれの行列のランクに応じた独立の縦ベクトルを抽出し、\(\mathbb{C}[S_4]\) の基底の左正則表現を既約分解する為の変換行列 \(T\) を 構成する事である。以下にそれぞれの \(\{R_i\}\) から、独立の縦ベクトルを抽出した結果を列挙する。\begin{align} &R_{1} & &\rightarrow & &\mathbf{v_{1}}=\frac{1}{24}[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1] \\ &R_{2} & &\rightarrow & &\mathbf{v_{2}}=\frac{1}{8}[1,0,1,0,1,1,-1,0,0,1,0,1,0,-1,-1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,-1] \\ & & & & &\mathbf{v_{3}}=\frac{1}{8}[0,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,-1,-1,0,1,0,1,-1,-1,1,0,1,-1,0] \notag \\ & & & & &\mathbf{v_{4}}=\frac{1}{8}[0,0,0,1,-1,0,0,1,0,-1,-1,0,0,1,0,-1,-1,1,0,0,1,-1,1,0] \notag \\ &R_{3} & &\rightarrow & &\mathbf{v_{5}}=\frac{1}{8}[1,0,0,1,1,-1,1,0,0,0,1,-1,-1,1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,-1,0] \\ & & & & &\mathbf{v_{6}}=\frac{1}{8}[0,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,1,-1,-1,1,0,1,0,-1,-1,1,0,-1] \notag \\ & & & & &\mathbf{v_{7}}=\frac{1}{8}[0,0,1,0,-1,0,0,0,1,-1,-1,1,0,0,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,0,1] \notag \\ &R_{4} & &\rightarrow & &\mathbf{v_{8}}=\frac{1}{8}[1,1,0,0,-1,1,1,0,0,-1,-1,0,1,0,1,-1,-1,0,0,0,0,-1,0,0] \\ & & & & &\mathbf{v_{9}}=\frac{1}{8}[0,0,1,0,0,-1,0,1,0,1,0,-1,-1,0,0,1,0,-1,-1,0,1,0,-1,1] \notag \\ & & & & &\mathbf{v_{10}}=\frac{1}{8}[0,0,0,1,0,0,-1,0,1,0,1,0,0,-1,-1,0,1,0,1,-1,-1,0,1,-1] \notag \\ &R_{5} & &\rightarrow & &\mathbf{v_{11}}=\frac{1}{12}[1,1,0,-1,1,-1,0,-1,0,0,-1,-1,0,0,-1,-1,0,0,1,-1,1,1,1,1] \\ & & & & &\mathbf{v_{12}}=\frac{1}{12}[0,-1,1,0,-1,0,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,0,1,1,-1,0,-1,0,0,0] \notag \\ &R_{6} & &\rightarrow & &\mathbf{v_{13}}=\frac{1}{12}[1,-1,0,1,-1,1,0,0,-1,-1,0,0,-1,-1,0,1,0,0,-1,1,-1,1,1,1] \\ & & & & &\mathbf{v_{14}}=\frac{1}{12}[-1,1,-1,0,1,0,-1,1,0,0,1,1,0,0,1,0,-1,-1,1,0,1,-1,-1,-1] \notag \\ &R_{7} & &\rightarrow & &\mathbf{v_{15}}=\frac{1}{8}[1,-1,0,0,1,-1,-1,0,0,0,0,-1,1,-1,1,0,0,1,0,1,0,-1,0,0] \\ & & & & &\mathbf{v_{16}}=\frac{1}{8}[0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,-1,0,1,0,1,0,1,0,-1,0,-1,1,1,0,-1] \notag \\ & & & & &\mathbf{v_{17}}=\frac{1}{8}[0,0,0,1,-1,0,0,0,-1,0,-1,1,0,1,0,0,1,-1,1,-1,0,1,-1,0] \notag \\ &R_{8} & &\rightarrow & &\mathbf{v_{18}}=\frac{1}{8}[1,0,0,-1,-1,1,-1,0,0,-1,1,0,0,1,-1,0,1,0,0,0,1,0,-1,0] \\ & & & & &\mathbf{v_{19}}=\frac{1}{8}[0,1,0,0,0,-1,0,-1,0,1,0,0,-1,0,1,1,-1,1,0,0,-1,-1,1,0] \notag \\ & & & & &\mathbf{v_{20}}=\frac{1}{8}[0,0,1,0,0,-1,0,0,-1,1,0,-1,0,0,1,0,-1,0,1,1,-1,0,1,-1] \notag \\ &R_{9} & &\rightarrow & &\mathbf{v_{21}}=\frac{1}{8}[1,0,-1,0,-1,-1,1,0,0,1,-1,1,-1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,-1] \\ & & & & &\mathbf{v_{22}}=\frac{1}{8}[0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,1,0,1,0,-1,-1,1,0,-1,1,0,-1,0,1] \notag \\ & & & & &\mathbf{v_{23}}=\frac{1}{8}[0,0,0,1,0,0,-1,-1,0,0,1,0,1,-1,0,-1,0,1,-1,0,1,0,-1,1] \notag \\ &R_{10} & &\rightarrow & &\mathbf{v_{24}}=\frac{1}{24}[1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1] \\ \end{align}
(6.1)～(6.10)で抽出されたベクトル \(\{\mathbf{v_{1}},...,\mathbf{v_{24}}\}\) を使い、 (6.11)の様に \(S_4\) の元 \(\sigma_i\) の 左正則表現を、既約分解するための変換行列 \(T\) を求める事が出来ました。
\begin{align} T=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ T^{-1}=\frac{1}{24} \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 3 & 0 & 3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 3 & -3 & 3 & -3 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 3 & 0 & -3 & 0 & -3 & 0 & 3 & -3 & 3 & 0 & -3 & 3 & 0 & 3 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & -3 & 3 & 0 & 0 & -3 & 0 & -3 & 3 & 0 & -3 & 0 & 3 & -3 & 0 & 3 & 0 & 3 & -3\\ 3 & 0 & 0 & 3 & 3 & -3 & 3 & 0 & 0 & -3 & 3 & 0 & 0 & 3 & -3 & 0 & -3 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & -3 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 3 & 0 & -3 & 0 & 0 & 3 & 0 & -3 & 3 & -3 & 3 & 0 & 0 & -3 & 3 & -3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & 3 & -3 & 0 & 3 & 0 & 0 & -3 & 0 & -3 & 0 & 3 & 3 & -3 & 0 & -3 & 3\\ 3 & 3 & 0 & 0 & -3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 3 & -3 & 3 & 0 & 0 & -3 & 0 & -3 & 0 & -3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 0 & -3 & 0 & 0 & 3 & 0 & 3 & 0 & -3 & 0 & -3 & 0 & 3 & 0 & -3 & 0 & -3 & 3 & -3 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 3 & -3 & 0 & -3 & 0 & 0 & 3 & -3 & 3 & -3 & 0 & -3 & 3 & 0\\ 2 & 2 & 0 & -2 & 2 & -2 & 0 & 0 & -2 & -2 & 0 & 0 & -2 & -2 & 0 & -2 & 0 & 0 & 2 & -2 & 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & -2 & 2 & 2 & -2 & -2 & 2 & 2 & -2 & -2 & 2 & -2 & 2 & 2 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 0 & -2 & 2 & 0 & 2 & -2 & 0 & -2 & -2 & 0 & 0 & -2 & -2 & 0 & 2 & -2 & -2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 2 & -2 & 0 & 2 & 0 & -2 & 2 & -2 & -2 & 2 & 2 & -2 & -2 & 2 & 0 & -2 & -2 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 3 & -3 & 0 & 0 & 3 & -3 & -3 & 0 & 0 & -3 & -3 & 0 & 3 & 0 & 3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & -3 & 0 & -3 & 0 & -3 & 0 & 3 & 3 & 0 & 0 & 3 & 0 & -3 & -3 & 0 & 3 & 0 & 3 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & -3 & 0 & -3 & 0 & -3 & 0 & 0 & 3 & 3 & 0 & 3 & 0 & 3 & -3 & -3 & 0 & -3 & 3\\ 3 & 0 & 0 & -3 & -3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0 & 3 & -3 & -3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 3 & 3 & 3 & 0 & 3 & 0 & -3 & -3 & -3 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 3 & 0 & -3 & 0 & 0 & 0 & -3 & 3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0 & -3 & -3 & 0 & 3 & 3 & 0 & 3 & 0 & -3\\ 3 & 0 & -3 & 0 & -3 & -3 & 3 & 0 & 0 & 3 & 0 & 3 & 0 & -3 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & 3 & 3 & 0 & -3 & 0 & 3 & -3 & -3 & 3 & 0 & -3 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & -3 & 0 & 0 & -3 & 0 & 3 & 3 & 0 & 0 & -3 & 0 & -3 & -3 & 3 & 0 & 0 & 3 & 3 & -3 & 0\\ 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
この変換行列 \(\{T,T^{-1}\}\) を使って、(6.13) の様に計算すると、既約分解された行列表現を得る事が出来ます。
行列自体が(24x24)の大きな行列なのでそれらを記載する事はページの無駄なので、既約分解した小行列を参考までに次の節で表にしました。
\begin{align} \widetilde{L_{i}}=T^{-1} \cdot L_{i} \cdot T \qquad [i=1,2,...,24] \\ \end{align}
