ヤング図形による群の正則表現の既約分解

【第0章】サイトの説明

⇦ \(\quad \)

home \(\quad \)

群の正則表現を既約表現に分解する方法を説明したサイトを3つ作成しました。

　　　(site1)　ヤング図形による群の正則表現の既約分解法
　　　 (site2)　線形代数による群の正則表現の既約分解法
　　　 (site3)　グレブナー基底による群の正則表現の既約分解法

上記３つのサイトは、「群の表現論」の「定理や証明」を解説する内容ではありません。
ただ単純に「自力で群の既約分解が出来るようになりたい」と思っている人のためのサイトです。

本サイト(site1)の目的は、群の表現論とヤング図形がどのように関係しているかを説明したものです。
計算の流れは、下に示すように、対称群の元 \(\sigma_i\) から、正則表現 \(L_i\) を求めて、更にその行列を完全な既約表現 \( \widetilde{L_{i}}\) にまで分解する計算過程です。ヤング図形による原始冪等元と群代数の計算が大活躍します。
計算過程や結果は出来る限り紙面に載せるようにしました。ご自身で計算した結果と突き合せる際にご利用下さい。

\begin{align} \sigma_{2} \quad \Rightarrow \quad L_2=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \text{原始冪等元} \quad \Rightarrow \quad \widetilde{L_{2}}= \begin{pmatrix} \boxed{1}&0&0&0\\0& \boxed{ \begin{matrix}1&-1\\ 0&-1\\ \end{matrix}}&0&0\\ 0&0&\boxed{ \begin{matrix}0&1\\ 1&0\\ \end{matrix} }&0\\ 0&0&0&\boxed{-1}\end{pmatrix} \notag \\ \end{align}

この計算方法は「憧れの計算方法」でした。適用範囲は対称群に限られるようです。知らんけど...（笑）

このサイトの使い方は以下の通りです。
・【1-2】などの箇所をクリックしていただければそのページに移動出来ます。
・各ページの左上と文章の最後には[ ⇦　home　⇨ ]があり、[ 前頁、本頁(home) 、次頁 ]に移動出来ます。

【第1章】対称群 \(S_3\)

\(S_3\) の元の正則表現の計算方法、その行列を既約表現に分解するまでの具体的な計算方法を詳細に説明しています。

【1-1】 \(S_3\) の元と番号付け
【1-2】 \(S_3\) の元の積表
【1-3】群代数 \(\mathbb{C}[S_3]\) の導入
【1-4】 \(\mathbb{C}[S_3]\) の元の正則表現の求め方
【1-5】 \(S_3\) の元 \(\sigma_i\) の左正則表現
【1-6】 \(\mathbb{C}[S_3]\) の原始冪等元
【1-7】原始冪等元の右正則表現
【1-8】左正則表現の既約分解
【1-9】原始冪等元と中心冪等元と射影演算子の関係

【第2章】対称群 \(S_4\)

\(S_4\) の正則表現行列は巨大な行列なので全てを表示する事が難しい為、計算手法を主に説明しております。

【2-1】 \(S_4\) の元と番号付け及び群代数\(\mathbb{C}[S_4]\)の元との対応
【2-2】 \(\mathbb{C}[S_4]\) の導入及び基底の積表
【2-3】 \(S_4\) の元 \(\sigma_i\) の左正則表現
【2-4】 \(\mathbb{C}[S_4]\) の原始冪等元
【2-5】 \(\mathbb{C}[S_4]\) の原始冪等元の右正則表現
【2-6】既約分解の為の変換行列 \(T\) の生成
【2-7】左正則表現の既約分解結果
【2-8】原始冪等元と中心冪等元と射影演算子の関係

【第3章】ヤング図形と原始冪等元

既約分割するうえで最も重要となる原始冪等元の算出方法を中心に説明しております。

【3-1】ヤング図形と標準盤 \((n=4)\)
【3-2】標準盤と原始冪等元　\(\{e_1\}\)
【3-3】標準盤と原始冪等元　\(\{e_2,e_3,e_4\}\)
【3-4】標準盤と原始冪等元　\(\{e_5,e_6,e_{10}\}\)
【3-5】標準盤と原始冪等元　\(\{e_7,e_8,e_9\}\)
【3-6】ヤング図形と標準盤 \((n=3)\)

【参考文献】

「応用数学者のための代数学」　　彌永昌吉・杉浦光夫（著）
「加群十話」　　堀田良之（著）

【おしらせ】

分野は全く異なりますが、ガロア理論を使った方程式の解法に関する計算技法のサイトも作成しております。
もしご興味があれば立ち寄ってみてください。

https://calgal.info 「数学VB　ガロア流方程式の解法　/ Techniques of Solving Equation a la Galois」

⇦ \(\quad \)

home \(\quad \)

⇨

\(\qquad\)\(\qquad\)\(\qquad\)

Profile
Name: sansurika137
Daily life: mowing

Revision history
1st upload: 2026/02/27
revision2: 2026/06/03

\(\qquad\)