【第1章】対称群 \(S_3\)
【1-1】\(S_3\) の元と番号付け
表現論では、群の元の順番付けが非常に重要となります。何故ならば順番が変わると行列表示が全く異なってしまうからです。
【表1】は、本サイトで扱う対称群 \(S_3\) の群の番号とその元の置換の内容を対応させたものです。
番号付けは巡回置換の長さが \([1,2,3]\) と順番に大きくなっております。
巡回置換の長さは共役類の分類にも役立ちます。
| \(S_3\)の元 | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2行表現 | \(\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 1&2&3 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&1&3 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 3&2&1 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 1&3&2 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&3&1 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 3&1&2 \end{pmatrix} \) |
| 巡回置換 | \(e\) | \((12)\) | \((13)\) | \((23)\) | \((123)\) | \((132)\) |
【1-2】 \(S_3\) の元の積表
対称群には積の演算が定義されています。対称群の2つの元の積は(2.1)に示すように右 \((\sigma_5)\) から左 \((\sigma_2)\) に演算してゆきます。
全ての元同士の積の演算結果を【表2】にまとめておきました。
\begin{align} &[e.g.] \qquad \sigma_2 \circ \sigma_5=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&1&3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&3&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 1&3&2 \end{pmatrix} =\sigma_4 \\ \end{align}
| \( i \backslash j \) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_6\) |
| \(\sigma_2\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_3\) |
| \(\sigma_3\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_4\) |
| \(\sigma_4\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_2\) |
| \(\sigma_5\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_1\) |
| \(\sigma_6\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_5\) |
【1-3】群代数 \(\mathbb{C}[S_3]\) の導入
群の表現論には欠かせない道具として群代数 \(\mathbb{C}[S_3]\) というものを考えます。【表3】に\(S_3\) の元 \(\sigma_i\)と\(\mathbb{C}[S_3]\) の基底 \(g_i\)との対応を示してあります。基底の番号は\(S_3\)の番号付けと同一です。
| \(S_3\)の元 | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 巡回表現 | \(e\) | \((12)\) | \((13)\) | \((23)\) | \((123)\) | \((132)\) |
| \(\mathbb{C}[S_3]\)の元 | \(g_1\) | \(g_2\) | \(g_3\) | \(g_4\) | \(g_5\) | \(g_6\) |
群代数 \(\mathbb{C}[S_3]\) は、体 \(\mathbb{C}\) 上の \(S_3\) の元を基底とするベクトル空間で、任意の元 \(x\) は(3.1)の様に定式化されます。
演算規則は(3.2)～(3.4)の様になっております。基底同士の積は \(S_3\) の元の積と全く同一で、【表4】にその積表を載せておきます。
\begin{align} &x:=a_1 \cdot g_1+ a_2 \cdot g_2 +....+ a_6 \cdot g_6=\displaystyle \sum_{i=1}^{6} a_i g_i \quad \bigl(a_i \in \mathbb{C},\quad x, \ g_i \in \mathbb{C}[S_3] \bigr) \\ \notag \\ &\qquad (1) \quad \displaystyle \sum_{i=1}^{6} a_i g_i+\displaystyle \sum_{i=1}^{6} b_i g_i=\displaystyle \sum_{i=1}^{6}( a_i+b_i) g_i \quad \bigl(b_i \in \mathbb{C} \bigr)\\ \notag \\ &\qquad (2) \quad c \cdot \bigl( \displaystyle \sum_{i=1}^{6} a_i g_i \bigr)= \displaystyle \sum_{i=1}^{6}(c \cdot a_i) g_i \quad \bigl(c \in \mathbb{C} \bigr)\\ \notag \\ &\qquad (3) \quad \biggl( \displaystyle \sum_{i=1}^{6} a_i g_i \biggr) \cdot \biggl(\displaystyle \sum_{j=1}^{6} b_j g_j \biggr)=\displaystyle \sum_{i,j=1}^{6}( a_i \cdot b_j) g_i \cdot g_j \\ \end{align}
| \( i \backslash j \) | \(g_1\) | \(g_2\) | \(g_3\) | \(g_4\) | \(g_5\) | \(g_6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g_1\) | \(g_1\) | \(g_2\) | \(g_3\) | \(g_4\) | \(g_5\) | \(g_6\) |
| \(g_2\) | \(g_2\) | \(g_1\) | \(g_6\) | \(g_5\) | \(g_4\) | \(g_3\) |
| \(g_3\) | \(g_3\) | \(g_5\) | \(g_1\) | \(g_6\) | \(g_2\) | \(g_4\) |
| \(g_4\) | \(g_4\) | \(g_6\) | \(g_5\) | \(g_1\) | \(g_3\) | \(g_2\) |
| \(g_5\) | \(g_5\) | \(g_3\) | \(g_4\) | \(g_2\) | \(g_6\) | \(g_1\) |
| \(g_6\) | \(g_6\) | \(g_4\) | \(g_2\) | \(g_3\) | \(g_1\) | \(g_5\) |
群代数 \(\mathbb{C}[S_3]\) の2つの元 \(\{x,y\}\) の積の計算例を以下に示します。
(3.6)(3.7)の右辺には基底の積 \(g_i \cdot g_j\) がありますが、【表4】の積表を使うと最終結果を求める事が出来ます。
\begin{align} x&=2\cdot g_2 -5 \cdot g_5, \quad y=3 \cdot g_4 -4 \cdot g_6 \qquad \bigl( \ x,y \in \mathbb{C}[S_3] \ \bigr) \\ \notag \\ x \cdot y&=(2g_2-5g_5) \cdot (3g_4-4g_6)=6g_2g_4-8g_2g_6-15g_5g_4+20g_5g_6 \notag \\ &=6g_5-8g_3-15g_2+20g_1 \\ \notag \\ y \cdot x&= (3g_4-4g_6) \cdot (2g_2-5g_5)=6g_4g_2-15g_4g_5-8g_6g_2+20g_6g_5 \notag\\ &=6g_6-15g_3-8g_4+20g_1 \\ \end{align}
乗算は非可換なので \(x \cdot y \neq y \cdot x \) です。
