【第1章】対称群 \(S_3\)
【1-4】\(\mathbb{C}[S_3]\) の元の正則表現の求め方
前節で群代数 \(\mathbb{C}[S_3]\) の元同士の具体的な計算例を示しました。この節ではこの計算方法を使って、群代数 \(\mathbb{C}[S_3]\) の任意の元 \(x\) の左正則表現と右正則表現の求め方を説明します。
計算例として \(x=g_1+g_2-g_3-g_6 \ \in \ \mathbb{C}[S_3]\) と言う元の左右正則表現を求めてみます。
【左正則表現の計算法】
(4.1)に示すように、求めたい正則表現 \(x\) に右から \(\mathbb{C}[S_3]\) の基底 \(\{g_1,g_2,...,g_6\}\) を順にかけて、6個の基底で展開するような形式にします。 そして、その展開係数を順に横ベクトルの形に \(\mathbf{u}_{i}\) の形式にします。
最後に(4.2)の様に6個の \(\mathbf{u}_{i}\) を縦ベクトルにして順に並べれば \(x\) の左正則表現 \(L_{x}\) を得る事が出来ます。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} x \cdot g_{1}=-{g_6}-{g_3}+{g_2}+{g_1} & &\rightarrow & \mathbf{u}_{1}=[1,1,-1,0,0,-1] \\ x \cdot g_{2}=-{g_5}-{g_4}+{g_2}+{g_1} & &\rightarrow & \mathbf{u}_{2}=[1,1,0,-1,-1,0] \\ x \cdot g_{3}={g_6}+{g_3}-{g_2}-{g_1} & &\rightarrow & \mathbf{u}_{3}=[-1,-1,1,0,0,1] \\ x \cdot g_{4}=-{g_6}+{g_5}+{g_4}-{g_3} & &\rightarrow & \mathbf{u}_{4}=[0,0,-1,1,1,-1] \\ x \cdot g_{5}={g_5}+{g_4}-{g_2}-{g_1} & &\rightarrow & \mathbf{u}_{5}=[-1,-1,0,1,1,0] \\ x \cdot g_{6}= {g_6}-{g_5}-{g_4}+{g_3} & &\rightarrow & \mathbf{u}_{6}=[0,0,1,-1,-1,1] \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
\begin{align} L_{x}=[\mathbf{u}_{1}^T,\mathbf{u}_{2}^T,\mathbf{u}_{3}^T,\mathbf{u}_{4}^T,\mathbf{u}_{5}^T,\mathbf{u}_{6}^T]= \begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0\\1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0\\-1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1\\0 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1\\-1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
【右正則表現の計算法】
計算の仕方は左正則表現の場合と変わりません。但し、今度は \(x\) に左から \(\mathbb{C}[S_3]\) の基底 \(\{g_1,g_2,...,g_6\}\) を 順にかける点が違うだけです。そして、展開係数を順に横ベクトルの形に \(\mathbf{v}_{i}\) の形式にします。
最後に(4.4)の様に6個の \(\mathbf{v}_{i}\) を縦ベクトルにして順に並べれば \(x\) の右正則表現 \(R_{x} \) を得る事が出来ます。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} g_{1} \cdot x=-{g_6}-{g_3}+{g_2}+{g_1} & &\rightarrow & \mathbf{v}_{1}=[1,1,-1,0,0,-1] \\ g_{2} \cdot x=-{g_6}-{g_3}+{g_2}+{g_1} & &\rightarrow & \mathbf{v}_{2}=[1,1,-1,0,0,-1] \\ g_{3} \cdot x={g_5}-{g_4}+{g_3}-{g_1} & &\rightarrow & \mathbf{v}_{3}=[-1,0,1,-1,1,0] \\ g_{4} \cdot x={g_6}-{g_5}+{g_4}-{g_2} & &\rightarrow & \mathbf{v}_{4}=[0,-1,0,1,-1,1] \\ g_{5} \cdot x={g_5}-{g_4}+{g_3}-{g_1} & &\rightarrow & \mathbf{v}_{5}=[-1,0,1,-1,1,0] \\ g_{6} \cdot x={g_6}-{g_5}+{g_4}-{g_2} & &\rightarrow & \mathbf{v}_{6}=[0,-1,0,1,-1,1] \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
\begin{align} R_{x}=[\mathbf{v}_{1}^T,\mathbf{v}_{2}^T,\mathbf{v}_{3}^T,\mathbf{v}_{4}^T,\mathbf{v}_{5}^T,\mathbf{v}_{6}^T]= \begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0\\1 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1\\-1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 1\\0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1\\-1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \end{align}
（注意）\(L_x \neq R_x\) です。
【1-5】 \(S_3\)の元 \(\sigma_i\) の左正則表現
\(S_3\)の元 \(\sigma_i\) の左正則表現と言っても、\(\sigma_i\) に対応する\(\mathbb{C}[S_3]\) の元である \(g_i\) の左正則表現を求めるだけです。従って前節の \(x\) に \(\mathbb{C}[S_3]\) の基底 \(g_i\) を単純に代入すればよいだけです。
今度は前節の(4.1)(4.3)の計算とは違って、掛け算の結果はたった一項だけで極めて簡単ですが、 要領は前節と全く同様です。計算の結果は以下の様になります。
群代数の計算規則さえ適用すれば極めて簡単に左右正則表現を求める事が出来ます。
\begin{align}
&L_1=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} &
&L_2=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\
\notag \\
&L_3=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} &
&L_4=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\
\notag \\
&L_5=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} &
&L_6=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\
\end{align}
