【第1章】対称群 \(S_3\)
【1-9】 原始冪等元と中心冪等元と射影演算子の関係
表現論の解説で射影演算子と言う言葉がよく出てきます。 更に、群代数の中では中心冪等元と言う言葉も出てきます。この節では、これら3つの用語の関係を説明します。まず初めに、表現論ではよく出てくる指標に関して対称群 \(S_3\) に関してまとめたのが【表6】です。
指標 \(\chi_{\rho}\) の添え字 \(\rho\) は表現の種類を表しています。\(d_{\rho}\) は行列表現したときの行列の次元を示しています。
| \(S_3\)の共役類 | \(C_{1}=\sigma_1\) | \(C_{2}=\{\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4\}\) | \(C_{3}=\{\sigma_5,\sigma_6\}\) | |
|---|---|---|---|---|
| 代表元 | \( e\) | \( (1,2) \) | \( (1,2,3) \) | |
| \(\mathbb{C}[S_3]\)の元 | \(g_1 \) | \( \{g_{2},g_{3},g_{4}\} \) | \( \{g_{5},g_{6}\} \) | |
| 指標 \(\chi_{\rho}\) | \( \) | \( \) | \( \) | 次元 \(d_{\rho}\) |
| 恒等表現 \(\chi_{triv}\) | \( 1\) | \( 1 \) | \(1 \) | \( 1\) |
| 標準表現 \( \chi_{std}\) | \( 2\) | \( 0\) | \(-1 \) | \( 2\) |
| 交代表現 \( \chi_{sgn}\) | \( 1\) | \( -1 \) | \( 1 \) | \( 1\) |
以上の様に用語が定義されたので、3種類の表現に対して、射影演算子と言うものが定義できます。
ここでは(9.1)(9.2)の様に2通りの定義式を示しました。但し、どちらも本質的に変わりはありません。
(9.1)は射影演算子を行列と考え、\(S_3\) の元を左正則表現 \(L_i\) で表したもので、大文字の \(P_{\rho}\) で表しています。
(9.2)は射影演算子を群代数 \(\mathbb{C}[S_3]\) の元として考えているので、小文字の \(p_{\rho}\) で表しています。
ここで \(|G|\) が群の元の数を示すので \(S_3\) の場合は \(6\) です。
\begin{align} &matrix: & &P_{\rho} =\frac{d_{\rho}}{\vert G \vert}\displaystyle \sum_{i=1}^{6}\chi_{\rho}(\sigma_{i}^{-1})L_{i} & &[\rho=triv,std,sgn] \\ \notag \\ &\mathbb{C}[S_3]: & &p_{\rho} =\frac{d_{\rho}}{\vert G \vert}\displaystyle \sum_{i=1}^{6}\chi_{\rho}(g_{i}^{-1})g_{i} & &[\rho=triv,std,sgn] \\ \end{align}
ただし群代数\(\mathbb{C}[S_3]\)の元と言う意味合いを強くしたい場合は\(\{e_{triv},e_{std},e_{sgn}\}\) という記法の方が使われます。
【1-6】で説明した原始冪等元と中心冪等元の関係は(9.3)～(9.5)の関係です。
\begin{align} &p_{triv}=e_{triv}=e_{1}=\frac{1}{6}\biggl(g_{1}+g_{2}+g_{3}+g_{4}+g_{5}+g_{6}\biggr) \\ &p_{std}=e_{std}=e_{2}+e_{3}=\frac{2}{6}\biggl(2g_{1}-g_{5}-g_{6}\biggr) \\ &p_{sgn}=e_{sgn}=e_{4}=\frac{1}{6}\biggl(g_{1}-g_{2}-g_{3}-g_{4}+g_{5}+g_{6}\biggr) \\ \end{align}
また、行列 \(R_{std}\) のランクは \(4\) なので \(R_{std}\) の中から独立な縦ベクトル4本を(9.5)の様に抽出します。
\begin{align} R_{std}&=R_{2}+R_{3} =\frac{2}{6}\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1\\0 & 2 & -1 & -1 & 0 & 0\\0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 2 & 0 & 0\\-1 & 0 & 0 & 0 & 2 & -1\\-1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2\end{bmatrix} \quad \rightarrow \quad &\left\{ \begin{array}{l} \mathbf{v}_{2}=[2,0,0,0,-1,-1]^T \\ \mathbf{v}_{3}=[0,2,-1,-1,0,0]^T\\ \mathbf{v}_{4}=[0,-1,2,-1,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{5}=[-1,0,0,0,2,-1]^T\\ \end{array} \right.\\ \end{align}
(9.6)の4本のベクトルと(8.1)の \(\mathbf{v}_{1}\) と(8.4)の \(\mathbf{v}_{6}\) とを合わせて変換行列 \(Q\) を構成します。
\begin{align} Q&=[\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3},\mathbf{v_4},\mathbf{v_5},\mathbf{v_6}] \\ \notag \\ Q&=\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 0 & -1 & 1\\1 & 0 & 2 & -1 & 0 & -1\\1 & 0 & -1 & 2 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1\\1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 1\\1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1\end{bmatrix} \qquad Q^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\ \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{3}\\0 & \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{bmatrix} \\ \end{align}
この \(Q\) を用いて \(S_3\) の左正則表現を既約分解してみると(6x6)の行列は、(9.9)の様に(1x1)+(4x4)+(1x1)の行列にしか分解出来ない事が判ります。 従って、射影演算子あるいは中心冪等元では、最終的な既約表現までには分解できないことが判りました。この事は注意する必要があると思います。
\begin{align} \breve{L_{i}}=Q^{-1} \cdot L_{i} \cdot Q &= \begin{pmatrix} \boxed{1}&0&0\\0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \end{matrix}}&0\\ 0&0&\boxed{ \pm 1 }\end{pmatrix} \\ \end{align}
(9.10)～(9.12)に実際に変換された行列 \(\breve{L_{i}}\) を載せておきました。
\begin{align} \breve{L_{1}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & \breve{L_{2}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ \breve{L_{3}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} & \breve{L_{4}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ \breve{L_{5}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & \breve{L_{6}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
