【第1章】対称群 \(S_3\)
【1-8】左正則表現の既約分解
前節までで群代数 \(\mathbb{C}[S_3]\) の基底の左正則表現 \(\{L_{1},L_{2},..,L_{6}\}\) と原始冪等元の 右正則表現 \(\{R_{1},R_{2},R_{3},R_{4}\}\)を求める事が出来ました。次にやる事は、この4つの原始冪等元の右正則表現を使って、既約分解する為の変換行列 \(T\) を生成することです。
その為には、4つの原始冪等元の右正則表現の行列の中から独立な縦ベクトルを選び出す事が必要になります。
その為に、原始冪等元の右正則表現行列のランクを調べる事にします。すると以下の様になっています。
\([rank(R_{1})=1,\quad rank(R_{2})=2, \quad rank(R_{3})=2, \quad rank(R_{4})=1]\)
そこで原始冪等元の右正則表現の行列 \(R_i\) のランクに対応して、行列 \(R_i\) の中から(8.1)～(8.4)の様に合計6本の独立な縦ベクトルを 抽出します。その\(\mathbf{v_i}\) を(8.5)の様に並べれば、既約分解に必要な変換行列 \(T\) を求める事が出来ます。
\begin{align} R_{1}&=\frac{1}{6}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} & &\mathbf{v_1}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{bmatrix} & &\\ \notag \\ R_{2}&=\frac{2}{6}\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0\\1 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1\\-1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 1\\0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1\\-1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} & &\mathbf{v_2}=\begin{bmatrix}1\\1\\-1\\0\\0\\-1\end{bmatrix} & &\mathbf{v_3}=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\\-1\\1\\0\end{bmatrix}\\ \notag \\ R_{3}&=\frac{2}{6}\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1\\-1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0\\0 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1\\-1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1\end{bmatrix} & &\mathbf{v_4}=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\\-1\\0\end{bmatrix} & &\mathbf{v_5}=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\\-1\\0\\1\end{bmatrix} \\ \notag \\ R_{4}&=\frac{1}{6}\begin{bmatrix}1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\-1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\-1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\-1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\end{bmatrix} & &\mathbf{v_6}=\begin{bmatrix}1\\-1\\-1\\-1\\1\\1\end{bmatrix} & &\\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} T&=[\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3},\mathbf{v_4},\mathbf{v_5},\mathbf{v_6}] \\ \notag \\ T&=\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1\\1 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1\\1 & -1 & 1 & 1 & 0 & -1\\1 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1\\1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1\\1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix} \qquad T^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{bmatrix} \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} \widetilde{L_{i}}&=T^{-1} \cdot L_{i} \cdot T = \begin{pmatrix} \boxed{1}&0&0&0\\0& \boxed{ \begin{matrix}*&*\\ *&*\\ \end{matrix}}&0&0\\ 0&0&\boxed{ \begin{matrix}*&*\\ *&*\\ \end{matrix} }&0\\ 0&0&0&\boxed{\pm 1}\end{pmatrix} \end{align}
\begin{align} \widetilde{L_{1}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & \widetilde{L_{2}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ \widetilde{L_{3}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} & \widetilde{L_{4}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ \widetilde{L_{5}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & \widetilde{L_{6}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\\ \end{align}
このままだと少しわかりにくいため、それぞれの小行列を抽出して整理したのが【表5】となります。
| \(S_3\)の巡回表現 | \(e\) | \((12)\) | \((13)\) | \((23)\) | \((123)\) | \((132)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathbb{C}[S_3]\)の元 | \(g_1\) | \(g_2\) | \(g_3\) | \(g_4\) | \(g_5\) | \(g_6\) |
| \(row1:\rho_{1}\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(row2,3:\rho_{std_1}\) | \(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}1 & -1\\0 & -1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-1 & 0\\-1 & 1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & -1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-1 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}\) |
| \(row4,5:\rho_{std_2}\) | \(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}1 & -1\\0 & -1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-1 & 0\\-1 & 1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-1 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & -1\end{bmatrix}\) |
| \(row6:\rho_{4}\) | \(1\) | \(-1\) | \(-1\) | \(-1\) | \(1\) | \(1\) |
