【第2章】対称群 \(S_4\)
【2-8】 原始冪等元と中心冪等元と射影演算子の関係
表現論ではよく出てくる指標に関して対称群 \(S_4\) に関してまとめたのが【表4】です。指標 \(\chi_{\rho}\) の添え字 \(\rho\) は表現の種類を表しています。\(d_{\rho}\) は行列表現したときの行列の次元を示しています。
| \(S_4\)の共役類 | \(C_{1}\) | \(C_{2}\) | \(C_{3}\) | \(C_{4}\) | \(C_{5}\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 代表元 | \( e\) | \( (1,2) \) | \( (1,2,3) \) | \( (1,2,3,4) \) | \( (1,2)(3,4) \) | |
| 元 | \(g_1 \) | \( \{g_{2},..,g_{7}\} \) | \( \{g_{8},..,g_{15}\} \) | \( \{g_{16},..,g_{21}\} \) | \( \{g_{22},g_{23},g_{24}\} \) | |
| 指標 \(\chi_{\rho}\) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | 次元 \(d_{\rho} \) |
| 恒等表現 \(\chi_{1}\) | \( 1\) | \( 1 \) | \(1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \(1\) |
| \( \chi_{2}\) | \( 3\) | \( 1\) | \(0 \) | \( -1 \) | \( -1 \) | \(3\) |
| \( \chi_{3}\) | \( 2\) | \( 0 \) | \( -1 \) | \( 0 \) | \( 2 \) | \(2\) |
| \( \chi_{4}\) | \( 3\) | \( -1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( -1 \) | \(3\) |
| 交代表現 \( \chi_{5}\) | \( 1\) | \(-1 \) | \( 1 \) | \( -1 \) | \( 1 \) | \(1\) |
【表4】より判る様に対称群 \(S_4\) には5つの表現があります。 \(S_3\)の場合は表現にはそれぞれに名前がついておりましたが、\(S_4\) は数が多いので数字で表します。 但し \(\rho=1\) は恒等表現 \([triv]\) 、 \(\rho=5\) は交代表現 \([sgn]\)に対応します。
この5種類の表現に対して、\(S_3\) の場合と同様に、射影演算子も定義されます。
ここでは(8.1)(8.2)の様に2通りの定義式を示しました。但し、どちらも本質的に変わりはありません。
(8.1)は射影演算子を行列と考え、\(S_4\) の元を左正則表現 \(L_i\) で表したもので、大文字の \(P_{\rho}\) で表しています。
(8.2)は射影演算子を群代数 \(\mathbb{C}[S_4]\) の元として考えているので、小文字の \(p_{\rho}\) で表しています。
ここで \(|G|\) が群の元の数を示すので \(S_4\) の場合は \(24\) です。
\begin{align} &matrix: & &P_{\rho} =\frac{d_{\rho}}{\vert G \vert}\displaystyle \sum_{i=1}^{24}\chi_{\rho}(\sigma_{i}^{-1})L_{i} & &[\rho=1,2,3,4,5] \\ \notag \\ &\mathbb{C}[S_4]: & &p_{\rho} =\frac{d_{\rho}}{\vert G \vert}\displaystyle \sum_{i=1}^{24}\chi_{\rho}(g_{i}^{-1})g_{i} & &[\rho=1,2,3,4,5] \\ \end{align}
原始冪等元 \(\{e_1,..,e_{10}\}\) と中心冪等元 \(\{p_1,..p_5\}\) の関係は(8.3)～(8.7)の関係式で表されます。
\begin{align} p_{1}&=e_{1} \\ \notag \\ &=\frac{1}{24}\biggl( {g_{24}}+{g_{23}}+{g_{22}}+{g_{21}}+{g_{20}}+{g_{19}}+{g_{18}}+{g_{17}}+{g_{16}}+{g_{15}}+{g_{14}}+{g_{13}}\biggr. \notag \\ &\qquad \qquad \biggl. +{g_{12}}+{g_{11}}+{g_{10}}+{g_9}+{g_8}+{g_7}+{g_6}+{g_5}+{g_4}+{g_3}+{g_2}+{g_1} \biggr) \notag \\ \notag \\ p_{2}&=e_{2}+e_{3}+e_{4}\\ \notag \\ &=\frac{1}{8}\biggl( -{g_{24}}-{g_{23}}-{g_{22}}-{g_{21}}-{g_{20}}-{g_{19}}-{g_{18}}-{g_{17}}-{g_{16}} \biggr. \notag \\ &\qquad \qquad \biggl. +{g_7}+{g_6}+{g_5}+{g_4}+{g_3}+{g_2}+3 {g_1}\ \biggr) \notag \\ \notag \\ p_{3}&=e_{5}+e_{6} \\ \notag \\ &=\frac{1}{12}\biggl( 2 {g_{24}}+2 {g_{23}}+2 {g_{22}}-{g_{15}}-{g_{14}}-{g_{13}}-{g_{12}}-{g_{11}}-{g_{10}}-{g_9}-{g_8}+2 {g_1} \biggr) \notag \\ \notag \\ p_{4}&=e_{7}+e_{8}+e_{9} \\ \notag \\ &=\frac{1}{8}\biggl( -{g_{24}}-{g_{23}}-{g_{22}}+{g_{21}}+{g_{20}}+{g_{19}}+{g_{18}}+{g_{17}}+{g_{16}} \biggr. \notag \\ &\qquad \qquad \biggl. -{g_7}-{g_6}-{g_5}-{g_4}-{g_3}-{g_2}+3 {g_1} \biggr) \notag \\ \notag \\ p_{5}&=e_{10} \\ \notag \\ &=\frac{1}{24}\biggl( {g_{24}}+{g_{23}}+{g_{22}}-{g_{21}}-{g_{20}}-{g_{19}}-{g_{18}}-{g_{17}}-{g_{16}}+{g_{15}}+{g_{14}}+{g_{13}} \biggr. \notag \\ &\qquad \qquad \biggl. +{g_{12}}+{g_{11}}+{g_{10}}+{g_9}+{g_8}-{g_7}-{g_6}-{g_5}-{g_4}-{g_3}-{g_2}+{g_1} \biggr) \notag \\ \notag \\ \end{align}
念の為にコメントしておきますが、上記の中心冪等元を使って、それらの右正則表現を計算し、その行列のランクに応じた独立な縦ベクトルを抽出し、既約表現に分割する為の 変換行列 \(Q\) なるものを構成しても、最終的にブロック分割される正則表現は、(8.8)に示される様に(1x1)+(9x9)+(4x4)+(9x9)+(1x1)という小ブロックにしか分割されません。 これらの小行列は既約表現ではありません。
従って、「正則表現を既約表現にまで完全に分割する為には原始冪等元を使うしかない」と言う事は重要です。
\begin{align} \breve{L_{i}}=Q^{-1} \cdot L_{i} \cdot Q &= \begin{pmatrix} \boxed{1}&0&0&0&0\\0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \end{matrix}} & 0 & 0 & 0\\ 0&0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \end{matrix}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{ \begin{matrix} *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \end{matrix}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \boxed{ \pm 1 }\end{pmatrix} \\ \end{align}
