【第3章】ヤング図形と原始冪等元
【3-1】ヤング図形と標準盤 \((n=4)\)
まず初めに、本サイトで数式記述のために使用しておりますMathjaxでは、上手くヤング図形を記述する事が出来ません。ヤング図形の縦方向が少し 離れてしまいますが、ご容赦お願いします。下に図形が描かれておりますが、対称群 \(S_4\) に対応したヤング図形と標準盤になっております。
\begin{align} &\text{ヤング図形} & & & &\text{標準盤} \notag \\ \notag \\ &\lambda_{1}= \left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & & & \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & &\rightarrow & &T_1=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \end{array}\\ \end{array} \right. & & & & & \\ \notag \\ &\lambda_{2}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|} \hline & & \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & &\rightarrow & &T_{2}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 4 \\ \hline \end{array}\\ \end{array} \right. & &T_{3}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 3 \\ \hline \end{array}\\ \end{array} \right. & &T_{4}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 3 & 4 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \end{array}\\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\lambda_{3}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline & \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|c|} \hline & \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & &\rightarrow & &T_{5}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 2 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|c|} \hline 3 & 4 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & &T_{6}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 3 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|c|} \hline 2 & 4 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & & \\ \notag \\ &\lambda_{4}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline & \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & &\rightarrow & &T_{7}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 2 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 3 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline 4 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & &T_{8}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 3 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline 4 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & &T_{9}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 4 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline 3 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\lambda_{5}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|} \hline \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & &\rightarrow & &T_{10}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|} \hline 1 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline 3 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline 4 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & & & & & \\ \end{align}
一応用語の説明をしておきます。
ヤング図形：
左端の数値が入っていない空の4個の箱を示します。 \(\{\lambda_1,...,\lambda_5\}\) の５種類の形状があります。
\([\quad \lambda_1=(4), \quad \lambda_2=(3,1), \quad \lambda_3=(2,2), \quad \lambda_4=(2,1,1), \quad \lambda_5=(1,1,1,1) \quad ] \) の様に記述され、
\(n=4\) の分割とも呼ばれています。
標準盤：
ヤング図形に数値が入ったものです。但し、数字は左上隅に行くほど小さくなっている条件がある為 \(\{T_1,...,T_{10}\}\) の10個しか 標準盤と呼ばれるものはありません。
何故 \(S_4\) に対応するヤング図形を説明に選んだのかと言いますと、 \(S_3\) だと標準盤の数が少なく全体像が見えにくくなってしまう恐れが あるからです。
【3-2】標準盤と原始冪等元 \(\{e_1\}\)
もう気付いておられるかもしれませんが、【第2章】で説明した原始冪等元は10個ありましたが、上記標準盤も10個あります。 すなわち、標準盤1つに対し原始冪等元1つが対応します。以下、順に計算してゆきます。
以下の(1)～(5)に従って計算すると、全ての標準盤 \(T_i\) に対して、原始冪等元 \(e_i\) が計算されます。
(2) 標準盤 \(T_i\) に対し同じ列にある数字だけを入れ替える置換全体 \(C_T\) を生成する。
(3) \(R_T\) より群代数の元 \(a_T\) 即ち「行方向の対称化」を表す元を生成する。
(4) \(C_T\) より群代数の元 \(b_T\) 即ち「列方向の交代化」を表す元を生成する。
(5) \(c_T=a_T \cdot b_T \) を計算する。\(c_T^2=K \cdot c_T\) を計算して、係数 \(K\) を見つける。
標準盤 \(T_i\)に対応する原始冪等元は \(e_i \equiv \frac{1}{K}c_T\) となる。
当然 \(e_i^2=e_i\) となり冪等元の条件を満足することになります。
\(T_1\) と原始冪等元 \(e_1\) の計算
\begin{align} &T_1=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \end{array}\\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
(1) \(R_T\)の生成
\(T_1\) は水平行のみなので、\(R_T\) は \([1,2,3,4]\) の数字を入れ替える置換全体となります。
即ち \(R_T=S_4\) となります。
(2) \(C_T\) の生成
\(T_1\) は垂直方向の箱はないので、数字の入れ替えは起こりません。従って \(C_T=\sigma_1 \) となります。
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} a_T=g_1+g_2+...+g_{24}\\ b_T=g_1 \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &c_{T}=a_T\cdot b_T =\sum_{i=1}^{24} g_{i} \quad \rightarrow \quad c_T^2=24 \cdot c_T \\ \notag \\ &\therefore \quad e_1=\frac{1}{24} \bigl( \ g_1+g_2+....+g_{24} \ \bigr) \\ \end{align}
