ヤング図形による群の正則表現の既約分解: yr103

【第1章】対称群 \(S_3\)

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【1-6】 \(\mathbb{C}[S_3]\) の原始冪等元

さて、いよいよ前節で求めた (6x6)の左正則表現の行列 \(L_i\) を、式(6.1)に示すように (1x1)+(2x2)+(2x2)+(1x1)の小行列に既約分解してゆきます。この辺りまでは表現論の本にはよく出てくる話だと思います。

\begin{align} \widetilde{L_{i}}=T^{-1} \cdot L_{i} \cdot T &= \begin{pmatrix} \boxed{1}&0&0&0\\0& \boxed{ \begin{matrix}*&*\\ *&*\\ \end{matrix}}&0&0\\ 0&0&\boxed{ \begin{matrix}*&*\\ *&*\\ \end{matrix} }&0\\ 0&0&0&\boxed{\pm 1}\end{pmatrix} \\ \end{align}

既約分解には、(6.1)の中のブロック分割のための変換行列 \(T\) を求める事が重要となります。
ではこの変換行列 \(T\) はどの様にもとめるのか？
この点が群の表現行列を既約分解するうえで最も重要な点となります。重要なキーワードがあります。

　　　　原始冪等元　　（これを求める事が既約分解の核心です）

この「原始冪等元」と呼ばれる特殊な元を求めるには、ヤング図形の計算方法をしなければならないので説明が長くなります。従ってその説明は第3章にまわします。
天下り的ですが、\(\mathbb{C}[S_3]\) の原始冪等元は、(6.2)～(6.5)に示す4つの元 \(\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}\) です。

\begin{align} e_{1}&=\frac{1}{6}\biggl(g_{1}+g_{2}+g_{3}+g_{4}+g_{5}+g_{6}\biggr) \\ e_{2}&=\frac{1}{3}\biggl(g_{1}+g_{2}-g_{3}-g_{6}\biggr) \\ e_{3}&=\frac{1}{3}\biggl(g_{1}-g_{2}+g_{3}-g_{5}\biggr) \\ e_{4}&=\frac{1}{6}\biggl(g_{1}-g_{2}-g_{3}-g_{4}+g_{5}+g_{6}\biggr) \\ \end{align}

この4つの原始冪等元が見つかれば、後は行列の話に持ち込めます。

【1-7】原始冪等元の右正則表現

次にやる事は、4つの原始冪等元の右正則表現を求める事です。
まず、\(e_{1},e_{4}\) を計算してみます。この二つの計算は簡単で次の様になります。

\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &g_{i} \cdot e_{1}=\frac{1}{6}\bigl(g_1+g_2+g_3+g_4+g_5+g_6\bigr) \quad [i=1,2,...,6]\\ &\qquad \therefore \mathbf{v}_{1,1}=\mathbf{v}_{1,2}=\mathbf{v}_{1,3}=\mathbf{v}_{1,4}=\mathbf{v}_{1,5}=\mathbf{v}_{1,6}=\frac{1}{6}[1,1,1,1,1,1]\\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} &g_{i} \cdot e_{4} =-g_{k} \cdot e_{4}=\frac{1}{6}\bigl( g_1-g_2-g_3-g_4+g_5+g_6\bigr) \quad [i=1,5,6],[k=2,3,4]\\ &\qquad \therefore \mathbf{v}_{4,1}=\mathbf{v}_{4,5}=\mathbf{v}_{4,6}=\frac{1}{6}[1,-1,-1,-1,1,1]\\ &\qquad \quad \mathbf{v}_{4,2}=\mathbf{v}_{4,3}=\mathbf{v}_{4,4}=\frac{1}{6}[-1,1,1,1,-1,-1]\\ \end{array} \right.\\ \end{align}

従って \(\{e_{1},e_{4 \}}\) の右正則表現は以下の様になります。

\begin{align} R_{1}&=[\mathbf{v}_{1,1}^T,\mathbf{v}_{1,2}^T,\mathbf{v}_{1,3}^T,\mathbf{v}_{1,4}^T,\mathbf{v}_{1,5}^T,\mathbf{v}_{1,6}^T] & R_{4}&=[\mathbf{v}_{4,1}^T,\mathbf{v}_{4,2}^T,\mathbf{v}_{4,3}^T,\mathbf{v}_{4,4}^T,\mathbf{v}_{4,5}^T,\mathbf{v}_{4,6}^T] \notag \\ \notag \\ R_{1}&=\frac{1}{6}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} & R_{4}&=\frac{1}{6}\begin{bmatrix}1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\-1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\-1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\end{bmatrix}\\ \end{align}

次に \(\{e_{2},e_{3}\}\) の右正則表現は、少し複雑ですが【1-4】で説明した計算法と同様に計算します。

\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} g_{1} \cdot e_{2}=\frac{1}{3}\bigl( -{g_6}-{g_3}+{g_2}+{g_1} \bigr) & &\rightarrow & \mathbf{v}_{2,1} =\frac{1}{3}[1,1,-1,0,0,-1] \\ g_{2} \cdot e_{2}=\frac{1}{3}\bigl( -{g_6}-{g_3}+{g_2}+{g_1} \bigr) & &\rightarrow & \mathbf{v}_{2,2} =\frac{1}{3}[1,1,-1,0,0,-1] \\ g_{3} \cdot e_{2}=\frac{1}{3}\bigl( {g_5}-{g_4}+{g_3}-{g_1} \bigr) & &\rightarrow & \mathbf{v}_{2,3} =\frac{1}{3}[-1,0,1,-1,1,0] \\ g_{4} \cdot e_{2}=\frac{1}{3}\bigl( {g_6}-{g_5}+{g_4}-{g_2} \bigr) & &\rightarrow & \mathbf{v}_{2,4} =\frac{1}{3}[0,-1,0,1,-1,1] \\ g_{5} \cdot e_{2}=\frac{1}{3}\bigl( {g_5}-{g_4}+{g_3}-{g_1} \bigr) & &\rightarrow & \mathbf{v}_{2,5} =\frac{1}{3}[-1,0,1,-1,1,0] \\ g_{6} \cdot e_{2}=\frac{1}{3}\bigl( {g_6}-{g_5}+{g_4}-{g_2} \bigr) & &\rightarrow & \mathbf{v}_{2,6} =\frac{1}{3}[0,-1,0,1,-1,1] \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} g_{1} \cdot e_{3}=\frac{1}{3}\bigl( -{g_5}+{g_3}-{g_2}+{g_1} \bigr) & &\rightarrow & \mathbf{v}_{3,1} =\frac{1}{3}[1,-1,1,0,-1,0]\\ g_{2} \cdot e_{3}=\frac{1}{3}\bigl( {g_6}-{g_4}+{g_2}-{g_1} \bigr) & &\rightarrow & \mathbf{v}_{3,2} =\frac{1}{3}[-1,1,0,-1,0,1]\\ g_{3} \cdot e_{3}=\frac{1}{3}\bigl( -{g_5}+{g_3}-{g_2}+{g_1} \bigr) & &\rightarrow & \mathbf{v}_{3,3} =\frac{1}{3}[1,-1,1,0,-1,0] \\ g_{4} \cdot e_{3}=\frac{1}{3}\bigl( -{g_6}+{g_5}+{g_4}-{g_3} \bigr) & &\rightarrow & \mathbf{v}_{3,4} =\frac{1}{3}[0,0,-1,1,1,-1] \\ g_{5} \cdot e_{3}=\frac{1}{3}\bigl( -{g_6}+{g_5}+{g_4}-{g_3} \bigr) & &\rightarrow & \mathbf{v}_{3,5} =\frac{1}{3}[0,0,-1,1,1,-1] \\ g_{6} \cdot e_{3}=\frac{1}{3}\bigl( {g_6}-{g_4}+{g_2}-{g_1} \bigr) & &\rightarrow & \mathbf{v}_{3,6} =\frac{1}{3}[-1,1,0,-1,0,1] \\ \end{array} \right.\\ \end{align}

従って\( \{e_{2},e_{3} \}\) の右正則表現は以下の様になります。

\begin{align} R_{2}&=[\mathbf{v}_{2,1}^T,\mathbf{v}_{2,2}^T,\mathbf{v}_{2,3}^T,\mathbf{v}_{2,4}^T,\mathbf{v}_{2,5}^T,\mathbf{v}_{2,6}^T] & R_{3}&=[\mathbf{v}_{3,1}^T,\mathbf{v}_{3,2}^T,\mathbf{v}_{3,3}^T,\mathbf{v}_{3,4}^T,\mathbf{v}_{3,5}^T,\mathbf{v}_{3,6}^T] \notag \\ \notag \\ R_{2}&=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0\\1 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1\\-1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 1\\0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1\\-1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} & R_{3}&=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1\\-1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0\\0 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1\\-1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}

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