【第3章】ヤング図形と原始冪等元
【3-3】標準盤と原始冪等元 \(\{e_2,e_3,e_{4}\}\)
\(T_2\) と原始冪等元 \(e_2\) の計算
\begin{align} &T_{2}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 4 \\ \hline \end{array}\\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
(1) \(R_T\)の生成
\(T_2\) の上段の水平行の数字は \([1,2,3]\) であるから \(R_T\) は \([1,2,3]\) の数字を入れ替える置換全体となります。
[下記の表の見方] 第2列目を例として説明
2行目[3,2]は、元の並び[1,2,3]と置換された[1,3,2]のパターンを比較してその差を表している。即ち[3,2]は、数字の2と3が置換されていると言う事を示している。 即ち、この置換はで巡回置換の(2,3)に相当している事になる。従って、この置換に対応する \(S_4\) の元は \(\sigma_3\) であり、 この元に対する群代数の基底は \(g_3\) であると言う意味である。
| [1,2,3]の全置換 | [1,2,3] | [1,3,2] | [2,1,3] | [2,3,1] | [3,1,2] | [3,2,1] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [1,2,3]とのパターン差 | 一致 | [3,2] | [2,1] | [2,3,1] | [3,1,2] | [3,1] |
| 対応する\(S_4\)の元：\(R_T\) | \(\sigma_{1}\) | \(\sigma_{3}\) | \(\sigma_{5}\) | \(\sigma_{10}\) | \(\sigma_{12}\) | \(\sigma_{6}\) |
| 対応する \(a_T\) 元 | \({g_1}\) | \({g_3}\) | \({g_5}\) | \({g_{10}}\) | \({g_{12}}\) | \({g_6}\) |
(2) \(C_T\) の生成
\(T_2\) の左端の列の数値は \([1,4]\) なので \(C_T\) は、\([1,4]\) の数字を入れ替える2つの置換の集まり \(C_T=\{e,(1,4)\}=\{\sigma_1,\sigma_{7}\}\) となります。
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} a_T=g_1+g_3+g_5+g_{6}+g_{10}+g_{12} \\ b_T=g_1+sgn(\sigma_{7}) \cdot g_7=g_1-g_7 \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\ c_T=a_T\cdot b_T= \bigl( g_1+g_3+g_5+g_{6}+g_{10}+g_{12} \bigr) \cdot \bigl( g_1-g_7 \bigr) \quad \rightarrow \quad c_T^2=8c_T \notag \\ \notag \\ &\therefore \quad e_2=\frac{1}{8}\bigl( -{g_{24}}-{g_{21}}-{g_{20}}-{g_{15}}-{g_{14}}+{g_{12}}+{g_{10}}-{g_7}+{g_6}+{g_5}+{g_3}+{g_1} \bigr) \\ \end{align}
\(T_3\) と原始冪等元 \(e_3\) の計算
\begin{align} &T_{3}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 3 \\ \hline \end{array}\\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
(1) \(R_T\)の生成
\(T_3\) の上段の水平行の数字は \([1,2,4]\) であるから \(R_T\) は \([1,2,4]\) の数字を入れ替える置換全体となります。
| [1,2,4]の全置換 | [1,2,4] | [1,4,2] | [2,1,4] | [2,4,1] | [4,1,2] | [4,2,1] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [1,2,4]とのパターン差 | 一致 | [4,2] | [2,1] | [2,4,1] | [4,1,2] | [4,1] |
| 対応する\(S_4\)の元：\(R_T\) | \(\sigma_{1}\) | \(\sigma_{4}\) | \(\sigma_{5}\) | \(\sigma_{11}\) | \(\sigma_{14}\) | \(\sigma_{7}\) |
| 対応する \(a_T\) 元 | \({g_1}\) | \({g_4}\) | \({g_5}\) | \({g_{11}}\) | \({g_{14}}\) | \({g_7}\) |
(2) \(C_T\) の生成
\(T_3\) の左端の列の数値は \([1,3]\) なので \(C_T\) は、\([1,3]\) の数字を入れ替える2つの2つの置換の集まり \(C_T=\{e,(1,3)\}=\{\sigma_1,\sigma_{6}\}\) となります。
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} a_T={g_{14}}+{g_{11}}+{g_7}+{g_5}+{g_4}+{g_1} \\ b_T=g_1+sgn(\sigma_{6}) \cdot g_6=g_1-g_6 \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &c_T=a_T\cdot b_T =\bigl( {g_{14}}+{g_{11}}+{g_7}+{g_5}+{g_4}+{g_1} \bigr) \cdot \bigl( g_1-g_6 \bigr) \quad \rightarrow \quad c_T^2=8c_T \notag \\ \notag \\ &\therefore \quad e_3=\frac{1}{8}\bigl( -{g_{23}}-{g_{19}}-{g_{18}}+{g_{14}}-{g_{13}}-{g_{12}}+{g_{11}}+{g_7}-{g_6}+{g_5}+{g_4}+{g_1} \bigr) \\ \end{align}
\(T_4\) と原始冪等元 \(e_4\) の計算
\begin{align} &T_{4}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 3 & 4 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \end{array}\\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
(1) \(R_T\)の生成
\(T_4\) の上段の水平行の数字は \([1,3,4]\) であるから \(R_T\) は \([1,3,4]\) の数字を入れ替える置換全体となります。
| [1,3,4]の全置換 | [1,3,4] | [1,4,3] | [3,1,4] | [3,4,1] | [4,1,3] | [4,3,1] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [1,3,4]とのパターン差 | 一致 | [4,3] | [3,1] | [3,4,1] | [4,1,3] | [4,1] |
| 対応する\(S_4\)の元：\(R_T\) | \(\sigma_{1}\) | \(\sigma_{2}\) | \(\sigma_{6}\) | \(\sigma_{13}\) | \(\sigma_{15}\) | \(\sigma_{7}\) |
| 対応する \(a_T\) 元 | \({g_1}\) | \({g_2}\) | \({g_6}\) | \({g_{13}}\) | \({g_{15}}\) | \({g_7}\) |
(2) \(C_T\) の生成
\(T_4\) の左端の列の数値は \([1,2]\) なので \(C_T\) は、\([1,2]\) の数字を入れ替える2つの置換の集まり \(C_T=\{e,(1,2)\}=\{\sigma_1,\sigma_{5}\}\) となります。
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} a_T= {g_{15}}+{g_{13}}+{g_7}+{g_6}+{g_2}+{g_1}\\ b_T=g_1+sgn(\sigma_{5}) \cdot g_5=g_1-g_5 \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &c_T=a_T\cdot b_T=\bigl( {g_{15}}+{g_{13}}+{g_7}+{g_6}+{g_2}+{g_1} \bigr) \cdot \bigl( g_1-g_5 \bigr) \quad \rightarrow \quad c_T^2=8c_T \notag \\ \notag \\ &\therefore \quad e_4=\frac{1}{8}\bigl( -{g_{22}}-{g_{17}}-{g_{16}}+{g_{15}}+{g_{13}}-{g_{11}}-{g_{10}}+{g_7}+{g_6}-{g_5}+{g_2}+{g_1} \bigr) \\ \end{align}
