【第3章】ヤング図形と原始冪等元
【3-4】標準盤と原始冪等元 \(\{e_5,e_6,e_{10}\}\)
\(T_5\) と原始冪等元 \(e_5\) の計算
\begin{align} &T_{5}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 2 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|c|} \hline 3 & 4 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
(1) \(R_T\)の生成
\(T_5\) の第1行と第2行の水平行の数字は \([1,2]\) と \([3,4]\) なので、 \(R_T\) は \([1,2]\) と \([3,4]\) の数字を入れ替える置換の2組、 \(R_{T1}=\{e,(1,2)\}=\{\sigma_{1},\sigma_{5}\}\) と \(R_{T2}=\{e,(3,4)\}=\{\sigma_{1},\sigma_{2}\}\) となります。
(2) \(C_T\) の生成
\(T_5\) の第1列と第2列の縦方向の数値は \([1,3]\) と \([2,4]\) なので、 \(C_T\) は、\([1,3]\) と \([2,4]\) の数字を入れ替える置換の2組、 \(C_{T1}=\{e,(1,3)\}=\{\sigma_1,\sigma_{6}\}\) と \(C_{T2}=\{e,(2,4)\}=\{\sigma_1,\sigma_{4}\}\) となります。
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} R_T&=\{R_{T1}=\{\sigma_{1},\sigma_{5}\},R_{T2}=\{\sigma_{1},\sigma_{2}\} \} \quad \rightarrow \quad a_T=(g_1+g_5)\cdot (g_1+g_2) \notag \\ C_T&=\{C_{T1}=\{\sigma_{1},\sigma_{6}\},C_{T2}=\{\sigma_{1},\sigma_{4}\} \} \quad \rightarrow \quad b_T=(g_1-g_6)\cdot (g_1-g_4) \notag \\ \notag \\ c_T&=a_T \cdot b_T={g_{24}}+{g_{23}}+{g_{22}}+{g_{21}}-{g_{20}}+{g_{19}}-{g_{16}}-{g_{15}}-{g_{12}}-{g_{11}}-{g_8}-{g_6}+{g_5}-{g_4}+{g_2}+{g_1} \notag \\ c_T^2&=12 c_T \notag \\ \notag \\ &\therefore \ e_5=\frac{1}{12}\biggl( {g_{24}}+{g_{23}}+{g_{22}}+{g_{21}}-{g_{20}}+{g_{19}}-{g_{16}}-{g_{15}}-{g_{12}}-{g_{11}}-{g_8}-{g_6}+{g_5}-{g_4}+{g_2}+{g_1} \biggr) \\ \end{align}
\(T_6\) と原始冪等元 \(e_6\) の計算
\begin{align} &T_{6}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 3 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|c|} \hline 2 & 4 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
(1) \(R_T\)の生成
\(T_6\) の第1行と第2行の水平行の数字は \([1,3]\) と \([2,4]\) なので、 \(R_T\) は \([1,3]\) と \([2,4]\) の数字を入れ替える置換の2組、 \(R_{T1}=\{e,(1,3)\}=\{\sigma_{1},\sigma_{6}\}\) と \(R_{T2}=\{e,(2,4)\}=\{\sigma_{1},\sigma_{4}\}\) となります。
(2) \(C_T\) の生成
\(T_6\) の第1列と第2列の縦方向の数値は \([1,2]\) と \([3,4]\) なので、 \(C_T\) は、\([1,2]\) と \([3,4]\) の数字を入れ替える置換の2組、 \(C_{T1}=\{e,(1,2)\}=\{\sigma_1,\sigma_{5}\}\) と \(C_{T2}=\{e,(3,4)\}=\{\sigma_1,\sigma_{2}\}\) となります。
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} R_T&=\{R_{T1}=\{\sigma_{1},\sigma_{6}\},R_{T2}=\{\sigma_{1},\sigma_{4}\} \} \quad \rightarrow \quad a_T=(g_1+g_6)\cdot (g_1+g_4) \notag \\ C_T&=\{C_{T1}=\{\sigma_{1},\sigma_{5}\},C_{T2}=\{\sigma_{1},\sigma_{2}\} \} \quad \rightarrow \quad b_T=(g_1-g_5)\cdot (g_1-g_2) \notag \\ \notag \\ c_T&=a_T \cdot b_T= {g_{24}}+{g_{23}}+{g_{22}}-{g_{21}}+{g_{20}}-{g_{19}}+{g_{16}}-{g_{14}}-{g_{13}}-{g_{10}}-{g_9}+{g_6}-{g_5}+{g_4}-{g_2}+{g_1} \notag \\ c_T^2&=12 c_T \notag \\ \notag \\ &\therefore \ e_6=\frac{1}{12}\biggl( {g_{24}}+{g_{23}}+{g_{22}}-{g_{21}}+{g_{20}}-{g_{19}}+{g_{16}}-{g_{14}}-{g_{13}}-{g_{10}}-{g_9}+{g_6}-{g_5}+{g_4}-{g_2}+{g_1} \biggr) \\ \end{align}
\(T_{10}\) と原始冪等元 \(e_{10}\) の計算
\begin{align} &T_{10}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|} \hline 1 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline 3 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline 4 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
レイアウトの都合上先に \(e_{10}\) に関して説明します。
(1) \(R_T\)の生成
\(T_{10}\) は水平方向には箱がないので、数値の入れ替えは起こりません。従って \(R_T=\sigma_1 \) となります
(2) \(C_T\) の生成
\(T_{10}\) は縦方向のみなので、\(C_T\) は \([1,2,3,4]\) の数字を入れ替える置換全体となります。
即ち \(C_T=S_4\) となります。
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} &a_T=g_1 \notag \\ &b_T=\sum_{i=1}^{24} sgn(\sigma_i)g_i \notag \\ \notag \\ &c_{T}=a_T\cdot b_T =\sum_{i=1}^{24} sgn(\sigma_i) g_{i} \quad \rightarrow \quad c_T^2=24 \cdot c_T \notag \\ \notag \\ \therefore \quad e_1&=\frac{1}{24} \biggl( {g_{24}}+{g_{23}}+{g_{22}}-{g_{21}}-{g_{20}}-{g_{19}}-{g_{18}}-{g_{17}}-{g_{16}}+{g_{15}}+{g_{14}}+{g_{13}} \biggr . \notag \\ &\qquad \biggl. +{g_{12}}+{g_{11}}+{g_{10}}+{g_9}+{g_8}-{g_7}-{g_6}-{g_5}-{g_4}-{g_3}-{g_2}+{g_1} \biggr) \\ \end{align}
