【第3章】ヤング図形と原始冪等元
【3-5】標準盤と原始冪等元 \(\{e_7,e_8,e_9\}\)
\(T_7\) と原始冪等元 \(e_7\) の計算
\begin{align} &T_{7}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 2 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 3 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline 4 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
(1) \(R_T\) の生成
\(T_7\) の上段の水平行の数値は \([1,2]\) なので \(R_T\) は、\([1,2]\) の数字を入れ替える2つの置換の集まり \(R_T=\{e,(1,2)\}=\{\sigma_1,\sigma_{5}\}\) となります。
(2) \(C_T\)の生成
\(T_7\) の左端の列の数字は \([1,3,4]\) であるから \(C_T\) は \([1,3,4]\) の数字を入れ替える置換全体となります。
| [1,3,4]の全置換 | [1,3,4] | [1,4,3] | [3,1,4] | [3,4,1] | [4,1,3] | [4,3,1] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [1,3,4]とのパターン差 | 一致 | [4,3] | [3,1] | [3,4,1] | [4,1,3] | [4,1] |
| 対応する\(S_4\)の元：\(C_T\) | \(\sigma_{1}\) | \(\sigma_{2}\) | \(\sigma_{6}\) | \(\sigma_{13}\) | \(\sigma_{15}\) | \(\sigma_{7}\) |
| 対応する \(b_T\) の元 | \({g_1}\) | \(-{g_2}\) | \(-{g_6}\) | \({g_{13}}\) | \({g_{15}}\) | \(-{g_7}\) |
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} a_T= g_1+g_5 \\ b_T={g_{15}}+{g_{13}}-{g_7}-{g_6}-{g_2}+{g_1} \\ \end{array} \right. \notag \\ \notag \\ &\ c_T=a_T \cdot b_T= \bigl( g_1+g_5 \bigr) \cdot \bigl( {g_{15}}+{g_{13}}-{g_7}-{g_6}-{g_2}+{g_1} \bigr) \quad \rightarrow \quad c_T^2=8c_T \notag \\ \notag \\ &\therefore \quad e_7=\frac{1}{8}\bigl( -{g_{22}}+{g_{20}}+{g_{18}}+{g_{15}}-{g_{14}}+{g_{13}}-{g_{12}}-{g_7}-{g_6}+{g_5}-{g_2}+{g_1} \bigr) \\ \end{align}
\(T_8\) と原始冪等元 \(e_8\) の計算
\begin{align} &T_{8}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 3 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline 4 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
(1) \(R_T\) の生成
\(T_8\) の上段の水平行の数値は \([1,3]\) なので \(R_T\) は、\([1,3]\) の数字を入れ替える2つの置換の集まり \(R_T=\{e,(1,3)\}=\{\sigma_1,\sigma_{6}\}\) となります。
(2) \(C_T\)の生成
\(T_8\) の左端の列の数字は \([1,2,4]\) であるから \(C_T\) は \([1,2,4]\) の数字を入れ替える置換全体となります。
| [1,2,4]の全置換 | [1,2,4] | [1,4,2] | [2,1,4] | [2,4,1] | [4,1,2] | [4,2,1] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [1,2,4]とのパターン差 | 一致 | [4,2] | [2,1] | [2,4,1] | [4,1,2] | [4,1] |
| 対応する\(S_4\)の元：\(C_T\) | \(\sigma_{1}\) | \(\sigma_{4}\) | \(\sigma_{5}\) | \(\sigma_{11}\) | \(\sigma_{14}\) | \(\sigma_{7}\) |
| 対応する \(b_T\)の 元 | \({g_1}\) | \(-{g_4}\) | \(-{g_5}\) | \({g_{11}}\) | \({g_{14}}\) | \(-{g_7}\) |
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} a_T= g_1+g_6 \notag \\ b_T= {g_{14}}+{g_{11}}-{g_7}-{g_5}-{g_4}+{g_1}\\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &c_T=a_T\cdot b_T = \bigl( g_1+g_6 \bigr) \cdot \bigl( {g_{14}}+{g_{11}}-{g_7}-{g_5}-{g_4}+{g_1} \bigr) \quad \rightarrow \quad c_T^2=8c_T \notag \\ \notag \\ &\therefore \quad e_8=\frac{1}{8}\bigl( -{g_{23}}+{g_{21}}+{g_{17}}-{g_{15}}+{g_{14}}+{g_{11}}-{g_{10}}-{g_7}+{g_6}-{g_5}-{g_4}+{g_1} \bigr) \\ \end{align}
\(T_9\) と原始冪等元 \(e_9\) の計算
\begin{align} &T_{9}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 4 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline 3 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
(1) \(R_T\) の生成
\(T_9\) の上段の水平行の数値は \([1,4]\) なので \(R_T\) は、\([1,4]\) の数字を入れ替える2つの置換の集まり \(R_T=\{e,(1,4)\}=\{\sigma_1,\sigma_{7}\}\) となります。
(2) \(C_T\)の生成
\(T_9\) の左端の列の数字は \([1,2,3]\) であるから \(C_T\) は \([1,2,3]\) の数字を入れ替える置換全体となります。
| [1,2,3]の全置換 | [1,2,3] | [1,3,2] | [2,1,3] | [2,3,1] | [3,1,2] | [3,2,1] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [1,2,3]とのパターン差 | 一致 | [3,2] | [2,1] | [2,3,1] | [3,1,2] | [3,1] |
| 対応する\(S_4\)の元：\(C_T\) | \(\sigma_{1}\) | \(\sigma_{3}\) | \(\sigma_{5}\) | \(\sigma_{10}\) | \(\sigma_{12}\) | \(\sigma_{6}\) |
| 対応する \(b_T\) の元 | \({g_1}\) | \(-{g_3}\) | \(-{g_5}\) | \({g_{10}}\) | \({g_{12}}\) | \(-{g_6}\) |
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} a_T= g_1+g_7 \\ b_T= {g_{12}}+{g_{10}}-{g_6}-{g_5}-{g_3}+{g_1} \\ \end{array} \right. \notag \\ \notag \\ &c_T=a_T\cdot b_T= \bigl( g_1+g_7 \bigr) \cdot \bigl( {g_{12}}+{g_{10}}-{g_6}-{g_5}-{g_3}+{g_1} \bigr) \quad \rightarrow \quad c_T^2=8c_T \notag \\ \notag \\ &\therefore \quad e_9=\frac{1}{8}\bigl( -{g_{24}}+{g_{19}}+{g_{16}}-{g_{13}}+{g_{12}}-{g_{11}}+{g_{10}}+{g_7}-{g_6}-{g_5}-{g_3}+{g_1} \bigr) \\ \end{align}
