【第3章】ヤング図形と原始冪等元
yr305
【3-6】ヤング図形と標準盤 \((n=3)\)
\(n=3\) の場合は下式の様に非常にシンプルです。 ヤング図形と標準盤は以下の通りになります。\begin{align} &\text{ヤング図形} & & & &\text{標準盤} \notag \\ \notag \\ &\lambda_{1}= \left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|} \hline & & \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & &\rightarrow & &T_1=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 2 &3 \\ \hline \end{array}\\ \end{array} \right. & & \\ \notag \\ &\lambda_{2}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline & \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & &\rightarrow & &T_{2}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 2 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 3 \\ \hline \end{array}\\ \end{array} \right. & &T_{3}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 3 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \end{array}\\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\lambda_{3}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|} \hline \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & &\rightarrow & &T_{4}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|} \hline 1 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline 3 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. & & \\ \end{align}
ヤング図形：
左端の数値が入っていない空の3個の箱を示します。 \(\{\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\}\) の3種類の形状があります。
\([\quad \lambda_1=(3), \quad \lambda_2=(2,1), \quad \lambda_3=(1,1,1) \quad ] \) の様に記述され、 \(n=3\) の分割と呼ばれています。
標準盤：
ヤング図形に数値が入ったものです。但し、数字は左上隅に行くほど小さくなっている条件がある為 \(\{T_1,...,T_{4}\}\) の4個しか 標準盤と呼ばれるものはありません。
【3-7】標準盤と原始冪等元 \(\{e_1,e_2,e_3,e_4\}\)
\(T_1\) と原始冪等元 \(e_1\) の計算
\( \qquad \)
\begin{align} &T_1=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}\\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
(1) \(R_T\)の生成
\(T_1\) は水平行のみなので、\(R_T\) は \([1,2,3]\) の数字を入れ替える置換全体で \(R_T=S_3\) となります。
(2) \(C_T\) の生成
\(T_1\) は垂直方向の箱はないので、数字の入れ替えは起こりません。従って \(C_T=\sigma_1 \) となります。
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} a_T=g_1+g_2+...+g_{6}\\ b_T=g_1 \\ \end{array} \right. \quad \rightarrow \quad c_{T}=a_T\cdot b_T =\sum_{i=1}^{6} g_{i} \quad \rightarrow \quad c_T^2=6 \cdot c_T \\ \notag \\ &\therefore \quad e_1=\frac{1}{6} \bigl( \ g_1+g_2+.g_3+g_4+g_5+g_6 \ \bigr) \\ \end{align}
\(T_2\) と原始冪等元 \(e_2\) の計算
\( \qquad \)
\begin{align} &T_{2}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 2 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 3 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
(1) \(R_T\) の生成
\(T_7\) の上段の水平行の数値は \([1,2]\) なので \(R_T\) は、\([1,2]\) の数字を入れ替える2つの置換の集まり \(R_T=\{e,(1,2)\}=\{\sigma_1,\sigma_{2}\}\) となります。
(2) \(C_T\)の生成
\(T_7\) の左端の列の数字は \([1,3]\) であるから \(C_T\) は \([1,3]\) の数字を入れ替える置換の集まり \(C_T=\{e,(1,3)\}=\{\sigma_1,\sigma_{3}\}\) となります。
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} a_T= g_1+g_2 \\ b_T=g_1+sgn(\sigma_3)g_3 =g_1-g_3\\ \end{array} \right. \notag \quad \rightarrow \quad \ c_T=a_T \cdot b_T= \bigl( g_1+g_2 \bigr) \cdot \bigl( g_1-g_3 \bigr) \quad \rightarrow \quad c_T^2=3c_T \notag \\ \notag \\ &\therefore \quad e_2=\frac{1}{3}\bigl( g_1+g_2-g_3-g_6\bigr) \\ \end{align}
\(T_3\) と原始冪等元 \(e_3\) の計算
\( \qquad \)
\begin{align} &T_{3}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 3 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
(1) \(R_T\) の生成
\(T_7\) の上段の水平行の数値は \([1,3]\) なので \(R_T\) は、\([1,3]\) の数字を入れ替える2つの置換の集まり \(R_T=\{e,(1,3)\}=\{\sigma_1,\sigma_{3}\}\) となります。
(2) \(C_T\)の生成
\(T_7\) の左端の列の数字は \([1,2]\) であるから \(C_T\) は \([1,2]\) の数字を入れ替える置換の集まり \(C_T=\{e,(1,2)\}=\{\sigma_1,\sigma_{2}\}\) となります。
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} a_T= g_1+g_3 \\ b_T=g_1+sgn(\sigma_2)g_2 =g_1-g_2\\ \end{array} \right. \notag \quad \rightarrow \quad \ c_T=a_T \cdot b_T= \bigl( g_1+g_3 \bigr) \cdot \bigl( g_1-g_2 \bigr) \quad \rightarrow \quad c_T^2=3c_T \notag \\ \notag \\ &\therefore \quad e_3=\frac{1}{3}\bigl( g_1-g_2+g_3-g_5 \bigr) \\ \end{align}
\(T_{4}\) と原始冪等元 \(e_{4}\) の計算
\( \qquad \)
\begin{align} &T_{4}=\left. \begin{array}{l} \begin{array}{|c|} \hline 1 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|} \hline 3 \\ \hline \end{array} \\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
\(T_{4}\) は水平方向には箱がないので、数値の入れ替えは起こりません。従って \(R_T=\sigma_1 \) となります
(2) \(C_T\) の生成
\(T_{4}\) は縦方向のみなので、\(C_T\) は \([1,2,3]\) の数字を入れ替える置換全体となり \(C_T=S_3\) となります。
(3)(4)(5) の計算
\begin{align} &a_T=g_1 \notag \\ &b_T=\sum_{i=1}^{6} sgn(\sigma_i)g_i \quad \rightarrow \quad c_{T}=a_T\cdot b_T =\sum_{i=1}^{6} sgn(\sigma_i) g_{i} \quad \rightarrow \quad c_T^2=6 \cdot c_T \notag \\ \notag \\ \therefore \quad e_4&=\frac{1}{6} \biggl( g_1-g_2-g_3-g_4+g_5+g_6 \biggr) \\ \end{align}
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